32bit IEEE 754: Decimal ↗ Single Precision Floating Point Binary: -0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 117 546 Convert the Number to 32 Bit Single Precision IEEE 754 Binary Floating Point Representation Standard, From a Base 10 Decimal System Number

Number -0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 117 546(10) converted and written in 32 bit single precision IEEE 754 binary floating point representation (1 bit for sign, 8 bits for exponent, 23 bits for mantissa)

1. Start with the positive version of the number:

|-0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 117 546| = 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 117 546

2. First, convert to binary (in base 2) the integer part: 0.
Divide the number repeatedly by 2.

Keep track of each remainder.

We stop when we get a quotient that is equal to zero.


  • division = quotient + remainder;
  • 0 ÷ 2 = 0 + 0;

3. Construct the base 2 representation of the integer part of the number.

Take all the remainders starting from the bottom of the list constructed above.


0(10) =


0(2)


4. Convert to binary (base 2) the fractional part: 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 117 546.

Multiply it repeatedly by 2.


Keep track of each integer part of the results.


Stop when we get a fractional part that is equal to zero.


  • #) multiplying = integer + fractional part;
  • 1) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 117 546 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 235 092;
  • 2) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 235 092 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 470 184;
  • 3) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 470 184 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 940 368;
  • 4) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 940 368 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 880 736;
  • 5) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 880 736 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 003 761 472;
  • 6) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 003 761 472 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 007 522 944;
  • 7) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 007 522 944 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 015 045 888;
  • 8) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 015 045 888 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 030 091 776;
  • 9) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 030 091 776 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 060 183 552;
  • 10) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 060 183 552 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 120 367 104;
  • 11) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 120 367 104 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 240 734 208;
  • 12) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 240 734 208 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 481 468 416;
  • 13) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 481 468 416 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 962 936 832;
  • 14) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 962 936 832 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 925 873 664;
  • 15) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 925 873 664 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 003 851 747 328;
  • 16) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 003 851 747 328 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 007 703 494 656;
  • 17) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 007 703 494 656 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 015 406 989 312;
  • 18) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 015 406 989 312 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 030 813 978 624;
  • 19) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 030 813 978 624 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 061 627 957 248;
  • 20) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 061 627 957 248 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 123 255 914 496;
  • 21) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 123 255 914 496 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 246 511 828 992;
  • 22) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 246 511 828 992 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 493 023 657 984;
  • 23) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 493 023 657 984 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 986 047 315 968;
  • 24) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 986 047 315 968 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 972 094 631 936;
  • 25) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 972 094 631 936 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 003 944 189 263 872;
  • 26) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 003 944 189 263 872 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 007 888 378 527 744;
  • 27) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 007 888 378 527 744 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 015 776 757 055 488;
  • 28) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 015 776 757 055 488 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 031 553 514 110 976;
  • 29) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 031 553 514 110 976 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 063 107 028 221 952;
  • 30) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 063 107 028 221 952 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 126 214 056 443 904;
  • 31) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 126 214 056 443 904 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 252 428 112 887 808;
  • 32) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 252 428 112 887 808 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 504 856 225 775 616;
  • 33) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 504 856 225 775 616 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 009 712 451 551 232;
  • 34) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 009 712 451 551 232 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 002 019 424 903 102 464;
  • 35) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 002 019 424 903 102 464 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 004 038 849 806 204 928;
  • 36) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 004 038 849 806 204 928 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 008 077 699 612 409 856;
  • 37) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 008 077 699 612 409 856 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 016 155 399 224 819 712;
  • 38) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 016 155 399 224 819 712 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 032 310 798 449 639 424;
  • 39) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 032 310 798 449 639 424 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 064 621 596 899 278 848;
  • 40) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 064 621 596 899 278 848 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 129 243 193 798 557 696;
  • 41) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 129 243 193 798 557 696 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 258 486 387 597 115 392;
  • 42) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 258 486 387 597 115 392 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 000 516 972 775 194 230 784;
  • 43) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 516 972 775 194 230 784 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 001 033 945 550 388 461 568;
  • 44) 0.000 000 000 000 000 000 000 001 033 945 550 388 461 568 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 002 067 891 100 776 923 136;
  • 45) 0.000 000 000 000 000 000 000 002 067 891 100 776 923 136 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 004 135 782 201 553 846 272;
  • 46) 0.000 000 000 000 000 000 000 004 135 782 201 553 846 272 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 008 271 564 403 107 692 544;
  • 47) 0.000 000 000 000 000 000 000 008 271 564 403 107 692 544 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 016 543 128 806 215 385 088;
  • 48) 0.000 000 000 000 000 000 000 016 543 128 806 215 385 088 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 033 086 257 612 430 770 176;
  • 49) 0.000 000 000 000 000 000 000 033 086 257 612 430 770 176 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 066 172 515 224 861 540 352;
  • 50) 0.000 000 000 000 000 000 000 066 172 515 224 861 540 352 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 132 345 030 449 723 080 704;
  • 51) 0.000 000 000 000 000 000 000 132 345 030 449 723 080 704 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 264 690 060 899 446 161 408;
  • 52) 0.000 000 000 000 000 000 000 264 690 060 899 446 161 408 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 000 529 380 121 798 892 322 816;
  • 53) 0.000 000 000 000 000 000 000 529 380 121 798 892 322 816 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 001 058 760 243 597 784 645 632;
  • 54) 0.000 000 000 000 000 000 001 058 760 243 597 784 645 632 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 002 117 520 487 195 569 291 264;
  • 55) 0.000 000 000 000 000 000 002 117 520 487 195 569 291 264 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 004 235 040 974 391 138 582 528;
  • 56) 0.000 000 000 000 000 000 004 235 040 974 391 138 582 528 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 008 470 081 948 782 277 165 056;
  • 57) 0.000 000 000 000 000 000 008 470 081 948 782 277 165 056 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 016 940 163 897 564 554 330 112;
  • 58) 0.000 000 000 000 000 000 016 940 163 897 564 554 330 112 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 033 880 327 795 129 108 660 224;
  • 59) 0.000 000 000 000 000 000 033 880 327 795 129 108 660 224 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 067 760 655 590 258 217 320 448;
  • 60) 0.000 000 000 000 000 000 067 760 655 590 258 217 320 448 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 135 521 311 180 516 434 640 896;
  • 61) 0.000 000 000 000 000 000 135 521 311 180 516 434 640 896 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 271 042 622 361 032 869 281 792;
  • 62) 0.000 000 000 000 000 000 271 042 622 361 032 869 281 792 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 000 542 085 244 722 065 738 563 584;
  • 63) 0.000 000 000 000 000 000 542 085 244 722 065 738 563 584 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 001 084 170 489 444 131 477 127 168;
  • 64) 0.000 000 000 000 000 001 084 170 489 444 131 477 127 168 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 002 168 340 978 888 262 954 254 336;
  • 65) 0.000 000 000 000 000 002 168 340 978 888 262 954 254 336 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 004 336 681 957 776 525 908 508 672;
  • 66) 0.000 000 000 000 000 004 336 681 957 776 525 908 508 672 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 008 673 363 915 553 051 817 017 344;
  • 67) 0.000 000 000 000 000 008 673 363 915 553 051 817 017 344 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 017 346 727 831 106 103 634 034 688;
  • 68) 0.000 000 000 000 000 017 346 727 831 106 103 634 034 688 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 034 693 455 662 212 207 268 069 376;
  • 69) 0.000 000 000 000 000 034 693 455 662 212 207 268 069 376 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 069 386 911 324 424 414 536 138 752;
  • 70) 0.000 000 000 000 000 069 386 911 324 424 414 536 138 752 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 138 773 822 648 848 829 072 277 504;
  • 71) 0.000 000 000 000 000 138 773 822 648 848 829 072 277 504 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 277 547 645 297 697 658 144 555 008;
  • 72) 0.000 000 000 000 000 277 547 645 297 697 658 144 555 008 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 000 555 095 290 595 395 316 289 110 016;
  • 73) 0.000 000 000 000 000 555 095 290 595 395 316 289 110 016 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 001 110 190 581 190 790 632 578 220 032;
  • 74) 0.000 000 000 000 001 110 190 581 190 790 632 578 220 032 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 002 220 381 162 381 581 265 156 440 064;
  • 75) 0.000 000 000 000 002 220 381 162 381 581 265 156 440 064 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 004 440 762 324 763 162 530 312 880 128;
  • 76) 0.000 000 000 000 004 440 762 324 763 162 530 312 880 128 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 008 881 524 649 526 325 060 625 760 256;
  • 77) 0.000 000 000 000 008 881 524 649 526 325 060 625 760 256 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 017 763 049 299 052 650 121 251 520 512;
  • 78) 0.000 000 000 000 017 763 049 299 052 650 121 251 520 512 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 035 526 098 598 105 300 242 503 041 024;
  • 79) 0.000 000 000 000 035 526 098 598 105 300 242 503 041 024 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 071 052 197 196 210 600 485 006 082 048;
  • 80) 0.000 000 000 000 071 052 197 196 210 600 485 006 082 048 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 142 104 394 392 421 200 970 012 164 096;
  • 81) 0.000 000 000 000 142 104 394 392 421 200 970 012 164 096 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 284 208 788 784 842 401 940 024 328 192;
  • 82) 0.000 000 000 000 284 208 788 784 842 401 940 024 328 192 × 2 = 0 + 0.000 000 000 000 568 417 577 569 684 803 880 048 656 384;
  • 83) 0.000 000 000 000 568 417 577 569 684 803 880 048 656 384 × 2 = 0 + 0.000 000 000 001 136 835 155 139 369 607 760 097 312 768;
  • 84) 0.000 000 000 001 136 835 155 139 369 607 760 097 312 768 × 2 = 0 + 0.000 000 000 002 273 670 310 278 739 215 520 194 625 536;
  • 85) 0.000 000 000 002 273 670 310 278 739 215 520 194 625 536 × 2 = 0 + 0.000 000 000 004 547 340 620 557 478 431 040 389 251 072;
  • 86) 0.000 000 000 004 547 340 620 557 478 431 040 389 251 072 × 2 = 0 + 0.000 000 000 009 094 681 241 114 956 862 080 778 502 144;
  • 87) 0.000 000 000 009 094 681 241 114 956 862 080 778 502 144 × 2 = 0 + 0.000 000 000 018 189 362 482 229 913 724 161 557 004 288;
  • 88) 0.000 000 000 018 189 362 482 229 913 724 161 557 004 288 × 2 = 0 + 0.000 000 000 036 378 724 964 459 827 448 323 114 008 576;
  • 89) 0.000 000 000 036 378 724 964 459 827 448 323 114 008 576 × 2 = 0 + 0.000 000 000 072 757 449 928 919 654 896 646 228 017 152;
  • 90) 0.000 000 000 072 757 449 928 919 654 896 646 228 017 152 × 2 = 0 + 0.000 000 000 145 514 899 857 839 309 793 292 456 034 304;
  • 91) 0.000 000 000 145 514 899 857 839 309 793 292 456 034 304 × 2 = 0 + 0.000 000 000 291 029 799 715 678 619 586 584 912 068 608;
  • 92) 0.000 000 000 291 029 799 715 678 619 586 584 912 068 608 × 2 = 0 + 0.000 000 000 582 059 599 431 357 239 173 169 824 137 216;
  • 93) 0.000 000 000 582 059 599 431 357 239 173 169 824 137 216 × 2 = 0 + 0.000 000 001 164 119 198 862 714 478 346 339 648 274 432;
  • 94) 0.000 000 001 164 119 198 862 714 478 346 339 648 274 432 × 2 = 0 + 0.000 000 002 328 238 397 725 428 956 692 679 296 548 864;
  • 95) 0.000 000 002 328 238 397 725 428 956 692 679 296 548 864 × 2 = 0 + 0.000 000 004 656 476 795 450 857 913 385 358 593 097 728;
  • 96) 0.000 000 004 656 476 795 450 857 913 385 358 593 097 728 × 2 = 0 + 0.000 000 009 312 953 590 901 715 826 770 717 186 195 456;
  • 97) 0.000 000 009 312 953 590 901 715 826 770 717 186 195 456 × 2 = 0 + 0.000 000 018 625 907 181 803 431 653 541 434 372 390 912;
  • 98) 0.000 000 018 625 907 181 803 431 653 541 434 372 390 912 × 2 = 0 + 0.000 000 037 251 814 363 606 863 307 082 868 744 781 824;
  • 99) 0.000 000 037 251 814 363 606 863 307 082 868 744 781 824 × 2 = 0 + 0.000 000 074 503 628 727 213 726 614 165 737 489 563 648;
  • 100) 0.000 000 074 503 628 727 213 726 614 165 737 489 563 648 × 2 = 0 + 0.000 000 149 007 257 454 427 453 228 331 474 979 127 296;
  • 101) 0.000 000 149 007 257 454 427 453 228 331 474 979 127 296 × 2 = 0 + 0.000 000 298 014 514 908 854 906 456 662 949 958 254 592;
  • 102) 0.000 000 298 014 514 908 854 906 456 662 949 958 254 592 × 2 = 0 + 0.000 000 596 029 029 817 709 812 913 325 899 916 509 184;
  • 103) 0.000 000 596 029 029 817 709 812 913 325 899 916 509 184 × 2 = 0 + 0.000 001 192 058 059 635 419 625 826 651 799 833 018 368;
  • 104) 0.000 001 192 058 059 635 419 625 826 651 799 833 018 368 × 2 = 0 + 0.000 002 384 116 119 270 839 251 653 303 599 666 036 736;
  • 105) 0.000 002 384 116 119 270 839 251 653 303 599 666 036 736 × 2 = 0 + 0.000 004 768 232 238 541 678 503 306 607 199 332 073 472;
  • 106) 0.000 004 768 232 238 541 678 503 306 607 199 332 073 472 × 2 = 0 + 0.000 009 536 464 477 083 357 006 613 214 398 664 146 944;
  • 107) 0.000 009 536 464 477 083 357 006 613 214 398 664 146 944 × 2 = 0 + 0.000 019 072 928 954 166 714 013 226 428 797 328 293 888;
  • 108) 0.000 019 072 928 954 166 714 013 226 428 797 328 293 888 × 2 = 0 + 0.000 038 145 857 908 333 428 026 452 857 594 656 587 776;
  • 109) 0.000 038 145 857 908 333 428 026 452 857 594 656 587 776 × 2 = 0 + 0.000 076 291 715 816 666 856 052 905 715 189 313 175 552;
  • 110) 0.000 076 291 715 816 666 856 052 905 715 189 313 175 552 × 2 = 0 + 0.000 152 583 431 633 333 712 105 811 430 378 626 351 104;
  • 111) 0.000 152 583 431 633 333 712 105 811 430 378 626 351 104 × 2 = 0 + 0.000 305 166 863 266 667 424 211 622 860 757 252 702 208;
  • 112) 0.000 305 166 863 266 667 424 211 622 860 757 252 702 208 × 2 = 0 + 0.000 610 333 726 533 334 848 423 245 721 514 505 404 416;
  • 113) 0.000 610 333 726 533 334 848 423 245 721 514 505 404 416 × 2 = 0 + 0.001 220 667 453 066 669 696 846 491 443 029 010 808 832;
  • 114) 0.001 220 667 453 066 669 696 846 491 443 029 010 808 832 × 2 = 0 + 0.002 441 334 906 133 339 393 692 982 886 058 021 617 664;
  • 115) 0.002 441 334 906 133 339 393 692 982 886 058 021 617 664 × 2 = 0 + 0.004 882 669 812 266 678 787 385 965 772 116 043 235 328;
  • 116) 0.004 882 669 812 266 678 787 385 965 772 116 043 235 328 × 2 = 0 + 0.009 765 339 624 533 357 574 771 931 544 232 086 470 656;
  • 117) 0.009 765 339 624 533 357 574 771 931 544 232 086 470 656 × 2 = 0 + 0.019 530 679 249 066 715 149 543 863 088 464 172 941 312;
  • 118) 0.019 530 679 249 066 715 149 543 863 088 464 172 941 312 × 2 = 0 + 0.039 061 358 498 133 430 299 087 726 176 928 345 882 624;
  • 119) 0.039 061 358 498 133 430 299 087 726 176 928 345 882 624 × 2 = 0 + 0.078 122 716 996 266 860 598 175 452 353 856 691 765 248;
  • 120) 0.078 122 716 996 266 860 598 175 452 353 856 691 765 248 × 2 = 0 + 0.156 245 433 992 533 721 196 350 904 707 713 383 530 496;
  • 121) 0.156 245 433 992 533 721 196 350 904 707 713 383 530 496 × 2 = 0 + 0.312 490 867 985 067 442 392 701 809 415 426 767 060 992;
  • 122) 0.312 490 867 985 067 442 392 701 809 415 426 767 060 992 × 2 = 0 + 0.624 981 735 970 134 884 785 403 618 830 853 534 121 984;
  • 123) 0.624 981 735 970 134 884 785 403 618 830 853 534 121 984 × 2 = 1 + 0.249 963 471 940 269 769 570 807 237 661 707 068 243 968;
  • 124) 0.249 963 471 940 269 769 570 807 237 661 707 068 243 968 × 2 = 0 + 0.499 926 943 880 539 539 141 614 475 323 414 136 487 936;
  • 125) 0.499 926 943 880 539 539 141 614 475 323 414 136 487 936 × 2 = 0 + 0.999 853 887 761 079 078 283 228 950 646 828 272 975 872;
  • 126) 0.999 853 887 761 079 078 283 228 950 646 828 272 975 872 × 2 = 1 + 0.999 707 775 522 158 156 566 457 901 293 656 545 951 744;
  • 127) 0.999 707 775 522 158 156 566 457 901 293 656 545 951 744 × 2 = 1 + 0.999 415 551 044 316 313 132 915 802 587 313 091 903 488;
  • 128) 0.999 415 551 044 316 313 132 915 802 587 313 091 903 488 × 2 = 1 + 0.998 831 102 088 632 626 265 831 605 174 626 183 806 976;
  • 129) 0.998 831 102 088 632 626 265 831 605 174 626 183 806 976 × 2 = 1 + 0.997 662 204 177 265 252 531 663 210 349 252 367 613 952;
  • 130) 0.997 662 204 177 265 252 531 663 210 349 252 367 613 952 × 2 = 1 + 0.995 324 408 354 530 505 063 326 420 698 504 735 227 904;
  • 131) 0.995 324 408 354 530 505 063 326 420 698 504 735 227 904 × 2 = 1 + 0.990 648 816 709 061 010 126 652 841 397 009 470 455 808;
  • 132) 0.990 648 816 709 061 010 126 652 841 397 009 470 455 808 × 2 = 1 + 0.981 297 633 418 122 020 253 305 682 794 018 940 911 616;
  • 133) 0.981 297 633 418 122 020 253 305 682 794 018 940 911 616 × 2 = 1 + 0.962 595 266 836 244 040 506 611 365 588 037 881 823 232;
  • 134) 0.962 595 266 836 244 040 506 611 365 588 037 881 823 232 × 2 = 1 + 0.925 190 533 672 488 081 013 222 731 176 075 763 646 464;
  • 135) 0.925 190 533 672 488 081 013 222 731 176 075 763 646 464 × 2 = 1 + 0.850 381 067 344 976 162 026 445 462 352 151 527 292 928;
  • 136) 0.850 381 067 344 976 162 026 445 462 352 151 527 292 928 × 2 = 1 + 0.700 762 134 689 952 324 052 890 924 704 303 054 585 856;
  • 137) 0.700 762 134 689 952 324 052 890 924 704 303 054 585 856 × 2 = 1 + 0.401 524 269 379 904 648 105 781 849 408 606 109 171 712;
  • 138) 0.401 524 269 379 904 648 105 781 849 408 606 109 171 712 × 2 = 0 + 0.803 048 538 759 809 296 211 563 698 817 212 218 343 424;
  • 139) 0.803 048 538 759 809 296 211 563 698 817 212 218 343 424 × 2 = 1 + 0.606 097 077 519 618 592 423 127 397 634 424 436 686 848;
  • 140) 0.606 097 077 519 618 592 423 127 397 634 424 436 686 848 × 2 = 1 + 0.212 194 155 039 237 184 846 254 795 268 848 873 373 696;
  • 141) 0.212 194 155 039 237 184 846 254 795 268 848 873 373 696 × 2 = 0 + 0.424 388 310 078 474 369 692 509 590 537 697 746 747 392;
  • 142) 0.424 388 310 078 474 369 692 509 590 537 697 746 747 392 × 2 = 0 + 0.848 776 620 156 948 739 385 019 181 075 395 493 494 784;
  • 143) 0.848 776 620 156 948 739 385 019 181 075 395 493 494 784 × 2 = 1 + 0.697 553 240 313 897 478 770 038 362 150 790 986 989 568;
  • 144) 0.697 553 240 313 897 478 770 038 362 150 790 986 989 568 × 2 = 1 + 0.395 106 480 627 794 957 540 076 724 301 581 973 979 136;
  • 145) 0.395 106 480 627 794 957 540 076 724 301 581 973 979 136 × 2 = 0 + 0.790 212 961 255 589 915 080 153 448 603 163 947 958 272;
  • 146) 0.790 212 961 255 589 915 080 153 448 603 163 947 958 272 × 2 = 1 + 0.580 425 922 511 179 830 160 306 897 206 327 895 916 544;

We didn't get any fractional part that was equal to zero. But we had enough iterations (over Mantissa limit) and at least one integer that was different from zero => FULL STOP (losing precision...)


5. Construct the base 2 representation of the fractional part of the number.

Take all the integer parts of the multiplying operations, starting from the top of the constructed list above:


0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 117 546(10) =


0.0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1111 1011 0011 01(2)


6. Positive number before normalization:

0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 117 546(10) =


0.0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1111 1011 0011 01(2)

7. Normalize the binary representation of the number.

Shift the decimal mark 123 positions to the right, so that only one non zero digit remains to the left of it:


0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 117 546(10) =


0.0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1111 1011 0011 01(2) =


0.0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1111 1011 0011 01(2) × 20 =


1.0011 1111 1111 1101 1001 101(2) × 2-123


8. Up to this moment, there are the following elements that would feed into the 32 bit single precision IEEE 754 binary floating point representation:

Sign 1 (a negative number)


Exponent (unadjusted): -123


Mantissa (not normalized):
1.0011 1111 1111 1101 1001 101


9. Adjust the exponent.

Use the 8 bit excess/bias notation:


Exponent (adjusted) =


Exponent (unadjusted) + 2(8-1) - 1 =


-123 + 2(8-1) - 1 =


(-123 + 127)(10) =


4(10)


10. Convert the adjusted exponent from the decimal (base 10) to 8 bit binary.

Use the same technique of repeatedly dividing by 2:


  • division = quotient + remainder;
  • 4 ÷ 2 = 2 + 0;
  • 2 ÷ 2 = 1 + 0;
  • 1 ÷ 2 = 0 + 1;

11. Construct the base 2 representation of the adjusted exponent.

Take all the remainders starting from the bottom of the list constructed above.


Exponent (adjusted) =


4(10) =


0000 0100(2)


12. Normalize the mantissa.

a) Remove the leading (the leftmost) bit, since it's allways 1, and the decimal point, if the case.


b) Adjust its length to 23 bits, only if necessary (not the case here).


Mantissa (normalized) =


1. 001 1111 1111 1110 1100 1101 =


001 1111 1111 1110 1100 1101


13. The three elements that make up the number's 32 bit single precision IEEE 754 binary floating point representation:

Sign (1 bit) =
1 (a negative number)


Exponent (8 bits) =
0000 0100


Mantissa (23 bits) =
001 1111 1111 1110 1100 1101


The base ten decimal number -0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 117 546 converted and written in 32 bit single precision IEEE 754 binary floating point representation:
1 - 0000 0100 - 001 1111 1111 1110 1100 1101

The latest decimal numbers converted from base ten to 32 bit single precision IEEE 754 floating point binary standard representation